序列是一组顺序排列的东西，若这些东西是数，我们便称之为数列。

在等比数列里，每一项和下一项的比是个常数。

每项和下一项的比是 2。

除了第一项外，每项是上一项乘以2。

等比数列的一般写法是：

{a，ar，ar2，ar3…… }

其中：

这个数列从 1 开始，然后每项加倍，所以

数列是：

{a，ar，ar2，ar3…… }

= {1，1×2，1×22，1×23, ...…… }

= {1，2，4，8…… }

但留意，r 不能是 0：

我们可以用以下的规则来求任何一项：

xn = ar(n-1)

（用 "n-1"，因为首项是 ar0）

每项和下一项的比是 3。

a 和 r 是：

规则是：

xn = 10 × 3(n-1)

所以，第 4 项是：

x4 = 10×3(4-1) = 10×33 = 10×27 = 270

第 10 项是：

x10 = 10×3(10-1) = 10×39 = 10×19683 = 196830

等比数列也可以有越来越小的项：

每项和下一项的差是 0.5（一半）。

规则是 xn = 4 × (0.5)n-1

因为数列好像几何维数的扩大：

我们用以下的公式把等比数列的项加起来。

加：

a + ar + ar2 + ... + ar(n-1)

每项是 ark，k 从 0 开始，到 n-1 为止

公式是：

a 是首项 r 是项与项之间的 "公比" n 是项的个数

那奇怪的符号是什么？ 是 总和符号

在符号的下面和上面是开始值和结束值：

意思是： "以 n 从 1 到 4，把 n 加起来。答案=10

使用公式很简单……只需 "代入" a、r 和 n 的值

每项和下一项的比差是 3。

a、r 和 n 是：

所以：

变成：

自己来检验：

10 + 30 + 90 + 270 = 400

在这例子，把它加起来就可以，以为只有 4 项。但如果有 50 项……用公式就方便多了。

让我们来看看怎样使用这个公式：

在二进制数字这页，我们提及棋盘上的米的例子。问题是：

把米这样放到棋盘上：

……每个格子里的米是上一个格子的 两倍……

……棋盘上总共有多少颗米？

已知：

所以:

变成：

= (1-264) / (-1) = 264 - 1

= 18,446,744,073,709,551,615

和在 二进制数字 这页算出来的一样。（真巧！）

再举个例，这次 r 小于 1：

a、r 和 n 是：

所以：

变成：

离 1 很近。

（问题：n 越来越大会怎样？）

我们来看看为什么公式是这样的，我们会用一个有趣的"技巧"。

留意到 S 和 S·r 很相似吗？

把它们相减！

哈！中间的项差不多全消去了。 （酷！）

把 S·r 从 S 减去，结果是：

S − S·r = a − arn

重排来求 S：

这就是我们要导出的公式（厉害！）：

当 n 趋近无穷大时会怎么样？

……若 r 小于 1，rn 会趋近 零，结果是：

注意：若 r 是 1 或大于 1（或小于 -1），以上便不管用：

r 必须是在 -1 和 1 之间（但不包括 1 和 -1）

并且，r 也不能是 0，因为数列会变成 {a，0，0……}，不是等比数列了

再看看以上的例子：

已知：

所以：

= ½ × 1 / ½ = 1

对了……(1/2)+(1/4)+(1/8)+……。

还不相信？看看这正方形：

把(1/2)+(1/4)+(1/8)+……加起来

……我们得到整个正方形!

在另一个网页中我们问："0.999……是不是等于 1？"我们来算算：

循环小数可以写成这样：

现在可以用公式：

惊艳！0.999…… 真的等于 1。

……等比数列和它的和非常有用。